Alemin Sonluluğu Üzerine - Matematiksel Yöntem 1

"öteki kitaplarımızda bu konuyla ilgili olarak birçok kıyas yaptık ve fiziğe dayalı ddoğru deliller ortaya koyduk. Bu kitabımızda ise deneye (el-hiss) ve akla dayanan ilimler arasında orta bir yerde bulunan matematik yöntemini kullanarak senin yükünü hafifletmek istedik"
Kindi, Felsefi Risaleler çev: Mahmut Kaya

Kindi'nin Ahmet b. Mahmut el-Horasani'ye yazmış olduğu bu küçük eser "Risale fi izahi tenâhî cirmi'l-âlem" adını taşıyor. Mahmut Kaya'nın çevirisinde bu risaleden sonra gelen iki küçük eserle içerik olarak yakınlar.

[Sonsuzluk Üzerine: "Risale fi maiyyeti mâ lâ yümkinu en yekûne lâ nihâyete leh ve me'llezî yukalu lâ nihayete leh-Sonsuz neye denir ve sonsuzluğu imkansız olanın mahiyeti hakkındaki risale"

Allah'ın Birliği ve Alemin Sonluluğu Üzerine: "Risale fi vahdaniyyetilllah ve tenahî cirmi'l-âlem
Bunların üçünü aynı başlık altında mı yoksa farklı başlıklar altında mı yazsam emin olamadım. şimdilik ayırıyorum.]

Kindi'nin matematik yöntemi ispatlarında kullandığı yöntem olarak özel bir yere sahip.. Bu eserindeki bir örnek-aksiyom iyi anlaşılırsa diğer ispatlarında kullandığı yöntemler de anlaşılır..

Ama öncesinde matematiksel yöntem ile ilgili bir link veriyorum..

http://matematiko.blogcu.com/matematiksel-ispat/1320863

"Matematikte kanıt (belgit, ispat), ilgilenilen bir önermenin, belirli aksiyomlar esas alınarak, doğru olduğunu gösterme yöntemidir.

... 

Bazı kabul görmüş kanıtlama teknikleri: 

Doğrudan kanıtlama: Sonucun, aksiyomlar, tanımlar ve daha önceki savların mantıksal olarak birleştirilmesiyle elde edildiği yöntem. 
Tümevarımla kanıtlama: Temel bir durumun kanıtlandığı ve bir tümevarım kuralı kulanılarak çok sayıda (sıkça sonsuz olan) başka durumların kanıtlandığı yöntem. 
Olmayana ergi kanıtı (Reductio ad absurdum olarak da bilinir): Bir özelliğin doğru olması durumunda mantıksal bir çelişkinin doğacağı dolayısıyla özelliğin yanlış olduğunun gösterildiği yöntem. 
Oluşturarak kanıtlama: İstenen özelliğe sahip somut bir örnek oluşturularak istenen özellikte bir nesnenin var olduğunun gösterildiği yöntem. 
Tüketerek kanıtlama: Kanıtlanacak önermenin sonlu sayıda duruma bölünerek her birinin ayrı ayrı kanıtlandığı yöntem. 
Olasılıkçı kanıtlama, olasılık teorisi yardımıyla istenen özellikte bir örneğin var olduğunun gösterildiği bir kanıtlama olarak anlaşılmalıdır, yani bir teoremin doğru "olabileceği" şeklinde değil. Bu ikinci türdeki uslamlamalara 'usayatkınlık kanıtı' denebilir; Collatz sanısı örneğinde bunun gerçek bir kanıtlamadan ne kadar uzak olduğu aşikardır. Olasılıkçı kanıtlama -oluşturarak kanıtlama dışında- varlık teoremlerini kanıtlamanın birçok yönteminden biridir." 

Kindi'deki kanıtlama tekniği-yöntemi?! "doğrudan kanıtlama" gibi görünüyor.. [Bir matematikçi teyid etse  güzel olurdu]

Eserde (Alemin Sonluluğu Üzerine'de) sık sık geçecek olan "aynı cinsten nicelikler" derken kastedilecek şey: 3 tür nicelik olan çizgi, yüzey veya cisimden, kastedilenin altında toplanan bütün nicelikler..

Aksiyom 1: Birbirinden büyük olmayan aynı cinsten nicelikler eşittir.

örnek: A ve B birbirinden büyük olmayan aynı cinsten iki niceliktir..
öyleyse. bu ikisinin eşit olduğunu iddia ediyorum..

ispat:
Bu ikisinin birbirine karşı mümkün bütün durumları..
ya A>B   B<A
ya B>A   A<B
ya da A=B 'dir

1. ve 2. durum olursa çelişki olur. çünkü "birbirinden büyük olmayan" demiştik. öyleyse 3. durum doğrudur. biz de zaten bunu ispatlamaya çalışıyorduk..

Aksiyom 2: Aynı cinsten 2 nicelikten birisinin miktarı aynı cinsten bir nicelikle artırılınca birbirine eşit olmazlar. 

yoksa (parça=bütün) olurdu.

örnek: A ve B aynı cinsten eşit iki nicelik. A=B
A'ya kendisiyle aynı cinsten C niceliği eklenirse
A+C>B olduğunu iddia ediyorum. [B<A+C]

ispat:
Bu önermedeki mümkün bütün durumlar..
 B=A+C
 B>A+C
 B<A+C [olması gereken]

1. durum.. [OLAMAZ]
B=A+C  ise
A=B olduğu için B'nin yerine A koyarsak..
A=A+C olmuş olur.
bu, (parça=bütün) demek. bu imkansız bir çelişkidir..

2. durum.. [OLAMAZ]
B>A+C ise

A=B olduğu için B'nin yerine A koyarsak..
A>A+C olmuş olur.
bu (parça>bütün) demek olup diğerinden de kötü bir çelişkidir.

3. durum.. [EVET]
mümkün diğer durumların imkansızlığı ispatlandığına göre kalan tek mümkün durum olan
B<A+C doğru olmuş olur. zaten bunu ispatlamaya çalışıyordu..

Aksiyom 3: Biri ötekinden küçük olan niceliklerin sonsuz olması imkansızdır. (Aynı cinsten iki sonsuz nicelikten birinin öbüründen küçük olması imkansızdır.)

iki eşit aynı cinsten sonsuz nicelikte

1. durum.. ya.. az olan çok olanı (A=B)
2. durum.. veya onun bir kısmını oluşturur. A<B veya B<A

[çok olanın sonsuz olduğunu varsayarsa -aksiyomda reddettiği-],
sonsuz olanın bir kısmı sonlu olmuş olur. [2. durum]
nicelik bakımından sonluya eşit olan da sonludur. [1. durum]

öyleyse aralarında büyüklük küçüklük ilişkisi olan nicelikler [2. durum] in sonsuz olması imkansızdır.

[burada Kindi'nin cümlelerinin (3. aksiyomun ispatından önceki) matematiksel önermeye dönüştürülebileceğini göstermeye çalıştım. özellikle 1. ve 2. aksiyomla ilgili el-Felsefetü'l-Ûlâ'da çokça örnek var. el-Felsefetü'l-Ûlâ'da geçen örnekleri (mesela uzun uzun Bir'in anlatıldığı bölümler) bu matematik yöntemle yazılan eserini okuduktan sonra anladım.. (A=B olduğuna göre A'nın yerine B koymak) Kindi okurken önemli sayılabilecek bir ipucu.. birazdan oraya küçük bir dönüş yapacam inş.. şimdi yazarın ispatına geçiyorum]

örnek:
AB ve CD aynı cinsten iki doğru (çizgi)..
bunların birbirinden büyük olmasının imkansız olduğunu iddia ediyorum.

ispat: CD=AH+VB     [bunu ispatlamaya çalışıyorduk diyor Kindi. buradaki H ve B noktasının nereden alınması gerektiğini tam anlamadım aslında, ama AB noktaları arasında iki ayrı nokta imiş gibi görünüyor]

AB>CD ise.. CD<AB'dir..

AB
ya CD'nin katları durumunda
ya da CD'den biraz fazladır. x

1. durumda.. CD AB'yi birkaç kez oluşturuyor demektir.
2. durumda. (AB-CD=AV olup.. AV CD'nin bir katıdır. "CD'nin katlarından birine eşit olan bu kısım da HV doğrusu olsun. Buna göre sonsuz olan AB doğrusunun bir kısmı sonlu olur. çünkü onun artması mümkündür. HV nin de artması mümkün olduğu için o da sonlu. Sonluya eşit olan da sonludur. öyleyse CD de sonludur. ama CD'nin sonsuz olduğu iddia edilmişti (baştaki iki eşit sonsuz nicelikten biri). bu imkansız bir çelişkidir. 

demek ki aynı cinsten iki sonsuz nicelikten birinin öbüründen küçük olması imkansızdır."

[bu aksiyomun ispatını çok anlamadığımı tekrar söyleyeyim.]

Aksiyom 4: Aynı cinsten olan niceliklerin her biri sonlu ise hepsi de sonlu olur.

örnek: A ve B aynı cinsten [biri?] sonlu iki nicelik ise.. bunun ikisi de sonludur.. 

ispat: 

A'ya eşit bir C doğrusu 

B'ye eşit bir D doğrusu çizersek.. 

C+D=A+B olur.. ve sonludur.. 

C+D'yi bir an için sonsuz kabul edersek.. 

"sonsuz olan bir nicelikten sürekli olarak bir miktar alınırsa da bitip tükenmez. C+D'den bir miktar alınınca bitiyorsa o sonludur."

C+D'den A'ya eşit olan C doğrusunu alırsak geriye D kalır. B'ye eşit olan D alınırsa geriye hiçbir şey kalmaz. öyleyse C+D sonludur. C+D'ye eşit olan A+B de sonludur.  

[Kindi buraya kadar aksiyomları ispatladı. Buradan sonra aksiyomları somut dünyaya uyarlıyor.]

Başlığı tekrar hatırlayalım. Alemin sonluluğu üzerine.. alemin sonluluğunu ispatlamak için 3 boyutlu bir nicelik (çizgi yüzey ve cisim'den) olan cismin sonsuzluğunun imkansızlığını, yukarıda ispatladığı aksiyomlar yardımıyla açıklıyor. 

sonsuz bir cisim var diyelim.. küp veya başka bir şekilde olsun.. 

bundan bir parça alırsak .. sonsuz olduğu için bitmemesi veya eksilmemesi gerekir. [4. aksiyom]

bir parça alındığında kalan.. 

ya sonludur.. 

ya sonsuzdur.. 

1. durumda=sonlu ise.. tamamı da sonludur ki bunu ispatlamaya çalışıyordu. [cismin tamamı sonludur]

2. durumda=sonsuz ise.. alınan eklenirse eski haline döner. bu da 

sonsuz+sonlu=sonsuz demektir. Ama bu da A+B=A   [2. aksiyom 2. durum (A>A+C'nin imkansızlığı)] demek olup imkansızdır. 

öyleyse cisim sonludur.. dolayısıyla alem de sonludur.